Esistono un'infinità di figure piatte dalle forme più diverse, sia corrette che irregolari. Una proprietà comune di tutte le figure è che ognuna di esse ha un'area. Le aree delle forme sono le dimensioni della porzione di piano occupata da queste forme, espresse in unità specifiche. Questo valore è sempre espresso come un numero positivo. L'unità di misura è l'area di un quadrato, il cui lato è uguale a un'unità di lunghezza (ad esempio un metro o un centimetro). Il valore approssimativo dell'area di qualsiasi forma può essere calcolato moltiplicando il numero di quadrati unitari in cui è diviso per l'area di un quadrato.

Altre definizioni di questo concetto sono le seguenti:

1. Le aree delle figure semplici sono quantità positive scalari che soddisfano le condizioni:

Figure uguali hanno aree uguali;

Se una figura è divisa in parti (figure semplici), la sua area è la somma delle aree di queste figure;

Un quadrato con un lato di un'unità di misura funge da unità di superficie.

2. Le aree di forme complesse (poligoni) sono quantità positive con le seguenti proprietà:

Poligoni uguali hanno la stessa area;

Se il poligono è composto da più altri poligoni, la sua area è uguale alla somma delle aree di questi ultimi. Questa regola vale per i poligoni non sovrapposti.

Come assioma, è accettato che le aree delle figure (poligoni) siano valori positivi.

La definizione dell'area di un cerchio è data separatamente come il valore a cui tende l'area di un dato cerchio inscritto in un cerchio, nonostante il numero dei suoi lati tenda all'infinito.

Le aree di forme irregolari (forme arbitrarie) non sono definite, vengono determinati solo i metodi per calcolarle.

Il calcolo delle aree era già nell'antichità un importante compito pratico nella determinazione delle dimensioni dei lotti di terreno. Le regole per il calcolo delle aree per diverse centinaia di anni furono formulate da scienziati greci e stabilite negli Elementi di Euclide come teoremi. È interessante notare che le regole per determinare le aree di figure semplici in esse sono le stesse del tempo presente. Le aree con contorno curvo sono state calcolate utilizzando il passaggio al limite.

Il calcolo delle aree di un semplice rettangolo (quadrato), familiare a tutti dalla scuola, è abbastanza semplice. Non è nemmeno necessario memorizzare le formule per le aree delle figure contenenti le designazioni delle lettere. Basta ricordare alcune semplici regole:

2. L'area di un rettangolo viene calcolata moltiplicando la sua lunghezza per la sua larghezza. In questo caso, è necessario che la lunghezza e la larghezza siano state espresse nelle stesse unità di misura.

3. L'area di una figura complessa viene calcolata dividendola in più figure semplici e aggiungendo le aree risultanti.

4. La diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli, le cui aree sono uguali e uguali alla metà della sua area.

5. L'area di un triangolo è calcolata come metà del prodotto della sua altezza e base.

6. L'area del cerchio è uguale al prodotto del quadrato del raggio per il noto numero "π".

7. L'area del parallelogramma è calcolata come il prodotto dei lati adiacenti e il seno dell'angolo compreso tra di loro.

8. L'area del rombo è ½ il risultato della moltiplicazione delle diagonali per il seno dell'angolo interno.

9. L'area del trapezio si trova moltiplicando la sua altezza per la lunghezza della linea mediana, che è uguale alla media aritmetica delle basi. Un'altra opzione per determinare l'area di un trapezio è moltiplicare le sue diagonali e il seno dell'angolo che si trova tra di loro.

Per chiarezza, ai bambini delle scuole elementari vengono spesso affidati compiti: trovare l'area di una figura disegnata su carta usando una tavolozza o un foglio di carta trasparente, tagliata in celle. Un tale foglio di carta viene sovrapposto alla figura misurata, viene contato il numero di celle piene (unità di area) che si adattano al suo contorno, quindi il numero di celle incomplete, che viene diviso a metà.

Istruzioni

Questo è utile se la tua forma è un poligono. Puoi sempre scomporlo in un numero finito e devi solo ricordare una formula: l'area di un triangolo. Quindi, un triangolo è la metà del prodotto della lunghezza del suo lato per la lunghezza dell'altezza disegnata proprio da questo lato. Sommando le aree dei singoli triangoli in cui uno più complesso è stato trasformato dalla tua volontà, scoprirai il risultato desiderato.

È più difficile risolvere il problema determinando l'area di una figura arbitraria. Una tale figura può avere non solo, ma anche confini curvilinei. Ci sono modi per calcolare approssimativamente. Semplice.

Innanzitutto, puoi usare una tavolozza. È uno strumento in materiale trasparente con una griglia di quadrati o triangoli con un'area nota applicata alla sua superficie. Posizionando una tavolozza sull'area della forma che stai cercando, ricalcoli il numero delle tue unità di misura che si sovrappongono all'immagine. Combina unità di misura non completamente chiuse tra loro, completandole nella tua mente per completarle. Inoltre, moltiplicando l'area di una forma della tavolozza per il numero calcolato, scoprirai l'area approssimativa della tua forma arbitraria. È chiaro che più spesso la trama viene applicata alla tavolozza, più accurato è il risultato.

In secondo luogo, puoi disegnare il numero massimo di triangoli entro i confini di una forma arbitraria per la quale determini l'area. Determina l'area di ciascuno e somma le loro aree. Questa sarà una stima molto approssimativa. Se lo desideri, puoi anche definire separatamente l'area dei segmenti delimitati da arco. Per fare ciò, immagina che il segmento faccia parte di un cerchio. Costruisci questo cerchio, quindi disegna i raggi dal suo centro ai bordi dell'arco. I segmenti formano tra loro un angolo α. L'area dell'intero settore è determinata dalla formula π * R ^ 2 * α / 360. Per ogni parte più piccola della tua forma, determini l'area e ottieni il risultato complessivo aggiungendo i valori risultanti.

Il terzo metodo è più difficile, ma più accurato per qualcuno, più facile. L'area di qualsiasi figura può essere determinata utilizzando il calcolo integrale. L'integrale definito di una funzione mostra l'area dal grafico della funzione all'ascissa. L'area racchiusa tra i due grafici può essere determinata sottraendo un integrale definito, di valore minore, dall'integrale all'interno degli stessi confini, ma di valore maggiore. Per utilizzare questo metodo, è conveniente trasferire la tua figura arbitraria in un sistema di coordinate e quindi definire le loro funzioni e agire utilizzando i metodi della matematica superiore, che non approfondiremo qui e ora.

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Se prevedi di effettuare riparazioni da solo, dovrai fare un preventivo per i materiali da costruzione e di finitura. Per fare ciò, è necessario calcolare l'area della stanza in cui si prevede di eseguire i lavori di riparazione. L'assistente principale in questo è una formula appositamente sviluppata. L'area dei locali, vale a dire il suo calcolo, ti consentirà di risparmiare un sacco di soldi sui materiali da costruzione e di dirigere le risorse finanziarie liberate in una direzione più necessaria.

Forma geometrica della stanza

La formula per calcolare l'area di una stanza dipende direttamente dalla sua forma. I più tipici per gli edifici domestici sono stanze rettangolari e quadrate. Tuttavia, durante la riqualificazione, la forma standard potrebbe essere distorta. Le stanze sono:

• Rettangolare.
• Piazza.
• Configurazione complessa (ad esempio, rotonda).
• Con nicchie e sporgenze.

Ognuno di essi ha le sue caratteristiche di calcolo, ma, di regola, viene utilizzata la stessa formula. È possibile calcolare l'area di una stanza di qualsiasi forma e dimensione, in un modo o nell'altro.

Camera rettangolare o quadrata

Per calcolare l'area di una stanza rettangolare o quadrata, basta ricordare le lezioni di geometria della scuola. Pertanto, non dovrebbe essere difficile per te determinare l'area della stanza. La formula di calcolo è:

S stanze \u003d A * B, dove

A è la lunghezza della stanza.

B è la larghezza della stanza.

Per misurare questi valori, avrai bisogno di un metro a nastro regolare. Per ottenere il calcolo più accurato, vale la pena misurare il muro su entrambi i lati. Se i valori non convergono, prendere come base la media dei dati risultanti. Ma ricorda che tutti i calcoli hanno i loro errori, quindi il materiale dovrebbe essere acquistato con un margine.

Una stanza con una configurazione complessa

Se la tua stanza non corrisponde alla definizione di "tipico", ad es. ha la forma di un cerchio, triangolo, poligono, potrebbe essere necessaria una formula diversa per i calcoli. Puoi provare a dividere condizionatamente l'area di una stanza con una tale caratteristica in elementi rettangolari e fare calcoli in modo standard. Se non si dispone di tale opportunità, utilizzare i seguenti metodi:

• La formula per trovare l'area di un cerchio:

S stanza \u003d π * R 2, dove

R è il raggio della stanza.

• La formula per trovare l'area di un triangolo:

S stanza \u003d √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), dove

P è il semiperimetro del triangolo.

A, B, C - le lunghezze dei suoi lati.

Quindi, P \u003d A + B + C / 2

Se nel processo di calcolo hai difficoltà, è meglio non torturarti e rivolgerti a professionisti.

Zona stanza con sporgenze e nicchie

Spesso le pareti sono decorate con elementi decorativi sotto forma di tutti i tipi di nicchie o sporgenze. Inoltre, la loro presenza potrebbe essere dovuta alla necessità di nascondere alcuni degli elementi antiestetici della tua stanza. La presenza di sporgenze o nicchie sul muro significa che il calcolo deve essere eseguito per fasi. Quelli. per prima cosa viene trovata l'area di una sezione piatta del muro, quindi viene aggiunta l'area di una nicchia o sporgenza.

L'area del muro si trova con la formula:

S pareti \u003d P x C, dove

P - perimetro

С - altezza

È inoltre necessario considerare la presenza di finestre e porte. La loro area deve essere sottratta dal valore risultante.

Una stanza con un soffitto a più livelli

Un soffitto a più livelli non complica i calcoli tanto quanto sembra a prima vista. Se ha un design semplice, i calcoli possono essere effettuati in base al principio di trovare l'area delle pareti complicata da nicchie e sporgenze.

Tuttavia, se il design del soffitto ha elementi arcuati e ondulati, è più opportuno determinarne l'area utilizzando l'area del pavimento. Questo richiede:

1. Trova le dimensioni di tutte le sezioni di muro diritte.
2. Trova l'area del pavimento.
3. Moltiplica la lunghezza e l'altezza delle sezioni verticali.
4. Aggiungi il valore risultante alla superficie del pavimento.

Istruzioni dettagliate per determinare il totale

area della stanza

1. Libera la stanza da cose inutili. Durante il processo di misurazione, avrai bisogno di accesso gratuito a tutte le aree della tua stanza, quindi devi sbarazzarti di tutto ciò che potrebbe interferire con questo.
2. Dividi visivamente la stanza in aree regolari e irregolari. Se la tua stanza è rigorosamente quadrata o rettangolare, questo passaggio può essere saltato.
3. Crea una disposizione arbitraria della stanza. Questo disegno è necessario in modo che tutti i dati siano sempre a portata di mano. Inoltre, non ti darà l'opportunità di confonderti in numerose misurazioni.
4. Le misurazioni devono essere effettuate più volte. Questa è una regola importante per evitare errori di calcolo. Inoltre, se stai usando, assicurati che la trave sia piatta sulla superficie del muro.
5. Trova l'area totale della stanza. La formula per la superficie totale di una stanza è trovare la somma di tutte le aree delle singole sezioni di una stanza. Quelli. S totale \u003d S pareti + S pavimento + S soffitto

Come trovare l'area di una forma?

Conoscere e saper calcolare le aree di varie forme è necessario non solo per risolvere semplici problemi geometrici. Non puoi fare a meno di questa conoscenza quando si redigono o si controllano i preventivi per la riparazione dei locali, calcolando la quantità di materiali di consumo necessari. Quindi scopriamo come trovare le aree di forme diverse.

La parte di un piano racchiusa in un contorno chiuso è chiamata area di questo piano. L'area è espressa dal numero di unità quadrate racchiuse in essa.

Per calcolare l'area delle forme geometriche di base, è necessario utilizzare la formula corretta.

Area di un triangolo

Leggenda:

1. Se h, a sono noti, allora l'area del triangolo desiderato è determinata come il prodotto delle lunghezze del lato e l'altezza del triangolo lasciato cadere su questo lato, diviso a metà: S \u003d (a h) / 2
2. Se a, b, c sono noti, allora l'area richiesta è calcolata dalla formula di Heron: la radice quadrata presa dal prodotto di metà del perimetro del triangolo e tre differenze di metà del perimetro e ogni lato del triangolo: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Se a, b, γ sono noti, allora l'area di un triangolo è determinata come metà del prodotto di 2 lati, moltiplicato per il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S \u003d (a b sin γ) / 2
4. Se a, b, c, R sono noti, l'area richiesta è determinata come la divisione del prodotto delle lunghezze di tutti i lati del triangolo per i quattro raggi del cerchio circoscritto: S \u003d (a b c) / 4R
5. Se p, r sono noti, l'area richiesta del triangolo è determinata moltiplicando metà del perimetro per il raggio del cerchio inscritto: S \u003d p r

Area quadrata

Leggenda:

1. Se il lato è noto, l'area di questa figura è determinata come il quadrato della lunghezza del suo lato: S \u003d a 2
2. Se d è noto, l'area di un quadrato è definita come metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale: S \u003d d 2/2

Area rettangolo

Leggenda:

• S - area determinata,
• a, b - le lunghezze dei lati del rettangolo.

1. Se a, b sono noti, l'area di un dato rettangolo è determinata dal prodotto delle lunghezze dei suoi due lati: S \u003d a b
2. Se le lunghezze dei lati sono sconosciute, l'area del rettangolo deve essere divisa in triangoli. In questo caso, l'area di un rettangolo è definita come la somma delle aree dei suoi triangoli costituenti.

Area del parallelogramma

Leggenda:

• S è l'area richiesta,
• a, b - lunghezze dei lati,
• h è la lunghezza dell'altezza di questo parallelogramma,
• d1, d2 - lunghezze di due diagonali,
• α è l'angolo tra i lati,
• γ è l'angolo tra le diagonali.

1. Se si conoscono a, h, l'area richiesta viene determinata moltiplicando le lunghezze del lato e l'altezza abbassata su questo lato: S \u003d a h
2. Se a, b, α sono noti, l'area del parallelogramma viene determinata moltiplicando le lunghezze dei lati del parallelogramma e il valore del seno dell'angolo tra questi lati: S \u003d a b sin α
3. Se d 1, d 2, γ sono noti, l'area del parallelogramma è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali e il valore del seno dell'angolo tra queste diagonali: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Zona rombo

Leggenda:

• S è l'area richiesta,
• a - lunghezza del lato,
• h - altezza lunghezza,
• α - angolo più piccolo tra due lati,
• d1, d2 sono le lunghezze delle due diagonali.

1. Se si conoscono a, h, l'area di un rombo viene determinata moltiplicando la lunghezza del lato per la lunghezza dell'altezza che viene abbassata su questo lato: S \u003d a h
2. Se a, α sono noti, allora l'area del rombo è determinata moltiplicando il quadrato della lunghezza del lato per il seno dell'angolo tra i lati: S \u003d a 2 sin α
3. Se d 1 e d 2 sono noti, l'area richiesta è determinata come metà del prodotto delle lunghezze delle diagonali del rombo: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Area del trapezio

Leggenda:

1. Se a, b, c, d sono noti, l'area richiesta è determinata dalla formula: S \u003d (a + b) / 2 * √.
2. Con note a, b, h, l'area richiesta è determinata come il prodotto della metà della somma delle basi per l'altezza del trapezio: S \u003d (a + b) / 2 h

Area di un quadrilatero convesso

Leggenda:

1. Se d 1, d 2, α sono noti, allora l'area di un quadrilatero convesso è determinata come metà del prodotto delle diagonali del quadrilatero moltiplicato per il seno dell'angolo tra queste diagonali: S \u003d (d 1 d 2 sin α) / 2
2. Per noti p, r, l'area di un quadrilatero convesso è definita come il prodotto del semiperimetro del quadrilatero per il raggio di un cerchio inscritto in questo quadrilatero: S \u003d p r
3. Se a, b, c, d, θ sono noti, allora l'area di un quadrilatero convesso è determinata come radice quadrata dei prodotti della differenza del mezzo perimetro e della lunghezza di ciascun lato meno il prodotto delle lunghezze di tutti i lati e del quadrato del coseno della metà della somma di due angoli opposti: S 2 \u003d (p - a ) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Area di un cerchio

Leggenda:

Se r è noto, l'area richiesta è determinata come il prodotto del numero π per il raggio al quadrato: S \u003d π r 2

Se d è noto, l'area di un cerchio è definita come il prodotto di π per il quadrato del diametro, diviso per quattro: S \u003d (π d 2) / 4

Area della figura complessa

Uno complesso può essere scomposto in semplici forme geometriche. L'area di una figura complessa è definita come la somma o la differenza delle aree componenti. Considera, ad esempio, un anello.

Designazione:

• S è l'area dell'anello,
• R, r - raggi dei cerchi esterno e interno, rispettivamente,
• D, d - diametri dei cerchi esterno e interno, rispettivamente.

Per trovare l'area dell'anello, è necessario sottrarre l'area dall'area del cerchio più grande cerchio più piccolo. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Quindi, se R e r sono noti, l'area dell'anello è determinata come la differenza tra i quadrati dei raggi dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi: S \u003d π (R 2 -r 2).

Se D ed sono noti, l'area dell'anello è determinata come un quarto della differenza tra i quadrati dei diametri dei cerchi esterno e interno, moltiplicata per il numero pi: S \u003d (1/4) (D 2 -d 2) π.

Area della forma riempita

Supponiamo che all'interno di un quadrato (A) ci sia un altro (B) (più piccolo), e dobbiamo trovare la cavità piena tra le forme "A" e "B". Diciamo solo la "cornice" di un piccolo quadrato. Per questo:

1. Trova l'area della figura "A" (calcolata dalla formula per trovare l'area di un quadrato).
2. Allo stesso modo, troviamo l'area della figura "B".
3. Sottrai l'area "B" dall'area "A". E così otteniamo l'area della figura piena.

Ora sai come trovare le aree di forme diverse.