Модуль числа

Модуль числа а обозначают $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.

Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt{45}|$.

Определение 1

Модуль числа a равен самому числу $a$, если $a$ является положительным, числу $−a$, если $a$ является отрицательным, или $0$, если $a=0$.

Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:

$|a|= \begin{cases} a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Можно использовать более краткую запись:

$|a|=\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Пример 1

Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$.

Решение .

Найдем модуль числа $23$.

Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:

Найдем модуль числа $–3,45$.

Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

Ответ : $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Определение 2

Модуль числа является абсолютной величиной числа.

Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.

Модуль числа как расстояние

Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.

Определение 3

Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$.

Пример 2

Например , модуль числа $12$ равен $12$, т.к. расстояние от точки отсчета до точки с координатой $12$ равно двенадцати:

Точка с координатой $−8,46$ расположена от начала отсчета на расстоянии $8,46$, поэтому $|-8,46|=8,46$.

Модуль числа как арифметический квадратный корень

Определение 4

Модуль числа a является арифметическим квадратным корнем из $a^2$:

$|a|=\sqrt{a^2}$.

Пример 3

Вычислить модуль числа $–14$ с помощью определения модуля числа через квадратный корень.

Решение .

$|-14|=\sqrt{((-14)^2}=\sqrt{(-14) \cdot (-14)}=\sqrt{14 \cdot 14}=\sqrt{(14)^2}=14$.

Ответ : $|-14|=14$.

Сравнение отрицательных чисел

Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.

Замечание 1

Правило сравнения отрицательных чисел:

• Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
• если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
• если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.

Замечание 2

На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.

Пример 4

Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$.

Решение .

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$, а затем сравним полученные положительные числа.

Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$.

Ответ : $–27

При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.

Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам −4 и 2.

Точка A, соответствующая числу −4, находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчёта), то есть длина отрезка OA равна 4 единицам.

Число 4 (длина отрезка OA) называют модулем числа −4.

Обозначают модуль числа так: |−4| = 4

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырём».

Точка B, соответствующая числу +2, находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OB равна двум единицам.

Число 2 называют модулем числа +2 и записывают: |+2| = 2 или |2| = 2.

Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой A на координатной прямой, то расстояние от точки A до начала отсчёта (другими словами длина отрезка OA) и будет называться модулем числа «a».

Запомните

Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчётадо точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.

Запомните

Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений,рассмотрев

все возможные случаи.

1. Модуль положительного числа равен самому числу. |a| = a, если a > 0;

2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. |−a| = a, если a < 0;

3. Модуль нуля равен нулю. |0| = 0, если a = 0;

4. Противоположные числа имеют равные модули.

Примеры модулей рациональных чисел:

· |−4,8| = 4,8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.

Запомните

· любое положительное число больше нуля и больше любого

отрицательного числа;

· любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого

положительного числа.

Пример.

Сравнивать рациональные числа удобно с помощью понятия модуля .

Большее из двух положительных чисел изображается точкой, расположенной на координатной прямой правее, то есть дальше от начала отсчёта. Значит, это число имеет больший модуль.

Запомните

Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше.

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Сравнение чисел по модулю

Определение 1. Если два числа 1 ) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

где s - число, и r одно из чисел 0,1, ..., p −1.

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Действительно. Если s получит значение от −∞ до +∞, то числа sp представляют собой совокупность всех чисел, кратных p . Рассмотрим числа между sp и ( s+ 1) p=sp+p . Так как p целое положительное число, то между sp и sp+p находятся числа

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p + r 1 . Тогда

или

Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 − r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 − r кратно p . Следовательно r 1 = r и s 1 = s .

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда

где s и s 1 некоторые целые числа.

Разность этих чисел

делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .

Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда

откуда

По утверждению a−b делится на p . Следовательно r − r 1 тоже делится на p . Но т.к. r и r 1 числа 0,1,..., p −1, то абсолютное значение | r − r 1 |< p . Тогда, для того, чтобы r − r 1 делился на p должно выполнятся условие r = r 1 .

Из утверждения следует, что сравнимые числа - это такие числа, разность которых делится на модуль.

Если нужно записать, что числа a и b сравнимы между собой по модулю p , то пользуются обозначением (введенным Гауссом):

Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.

Свойства сравнений по модулю

Свойство 1. Для любого a и p всегда

Свойство 2. Если два числа a и c сравнимы с числом b по модулю p , то a и c сравнимы между собой по тому же модулю, т.е. если

то

Действительно. Из условия свойства 2 следует a−b и b−c делятся на p . Тогда их сумма a−b+(b−c)=a−c также делится на p .

Свойство 3. Если

то

Действительно. Так как a−b и m−n делятся на p , то

также делятся на p .

Это свойство можно распространить на какое угодно число сравнений, имеющих один и тот же модуль.

Свойство 4. Если

то

Далее m−n делится на p , следовательно b(m−n)=bm−bn также делится на p , значит

Таким образом два числа am и bn сравнимы по модулю с одним и тем же числом bm , следовательно они сравнимы между собой (свойство 2).

Свойство 5. Если

то

где k некоторое неотрицательное целое число.

Действительно. Имеем a≡b mod ( p ). Из свойства 4 следует

Все свойства 1-5 представить в следующем утверждении:

Утверждение 4. Пусть f ( x 1 , x 2 , x 3 , ...) целая рациональная функция с целыми коэффициентами и пусть

тогда

При делении все обстоит иначе. Из сравнения

Утверждение 5. Пусть

где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда

Так как m(a−b) делится на k , то

имеет нулевой остаток, т.е. m 1 ( a−b ) делится на k 1 . Но числа m 1 и k 1 числа взаимно простые. Следовательно a−b делится на k 1 = k/λ и, тогда, p,q,s.

Действительно. Разность a≡b должна быть числом, кратным p,q,s. и, следовательно должна быть кратным h .

В частном случае, если модули p,q,s взаимно простые числа, то

где h=pqs.

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod ( p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.