При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?

Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.

Найти высоту в разностороннем треугольнике

Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.

Формула Герона

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где

p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,

p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.

В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.

Тригонометрические функции

Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.

Взаимосвязь с радиусом

Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.

Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике

В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:

• Пифагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .

• Тригонометрические функции:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Найти высоту в равнобедренном треугольнике

Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Вычисление высоты треугольника зависит от самой фигуры (равнобедренный, равносторонний, разносторонний, прямоугольный). В практической геометрии сложные формулы, как правило, не встречаются. Достаточно знать общий принцип вычислений для того, чтобы он мог быть универсально применим для всех треугольников. Сегодня мы познакомим вас с базовыми принципами вычисления высоты фигуры, расчетными формулами, основываясь на свойствах высот треугольников.

Что такое высота?

Высота имеет несколько отличительных свойств

1. Точка, где все высоты соединяются, называется ортоцентром. Если треугольник остроконечный, то ортоцентр находится внутри фигуры, если один из углов тупой, то ортоцентр, как правило, находится снаружи.
2. В треугольнике, где один угол равен 90°, ортоцентр и вершина совпадают.
3. В зависимости от вида треугольника есть несколько формул, как найти высоту треугольника.

Традиционные вычисления

1. Если р – это половина периметра, тогда a, b, c являются обозначением сторон требуемой фигуры, h – высота, то первая и самая простая формула будет выглядеть следующим образом: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. В школьных учебниках часто можно найти задачи, в которых известно значение одной из сторон треугольника и величина угла между данной стороной и основанием. Тогда формула расчета высоты будет выглядеть так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Когда дана площадь треугольника – S, а также длина основания – а, то вычисления будут максимально простыми. Высоту находят по формуле: h = 2S/a.
4. Когда дан радиус окружности, описанной вокруг фигуры, вначале вычисляем длины его двух сторон, а затем приступаем к вычислению заданной высоты треугольника. Для этого используем формулу: h = b ∙ c/2R, где b и c – это две стороны треугольника, которые не являются основанием, а R – радиус.

Все стороны у данной фигуры равнозначны, их длины равны, поэтому и углы при основании тоже будут равными. Из этого следует, что высоты, которые проводим на основания, тоже будут равны, они же и медианы, и биссектрисы одновременно. Говоря простым языком, высота в равнобедренном треугольнике делит основание надвое. Треугольник с прямым углом, который получился после проведения высоты, будем рассматривать с помощью теоремы Пифагора. Обозначим боковую сторону как а, а основание как b, тогда высота h = ½ √4 a2 − b2.

Как найти высоту равностороннего треугольника?

Формула равностороннего треугольника (фигуры, где все стороны являются равновеликими), можно найти, исходя из предыдущих вычислений. Необходимо только измерить длину одной из сторон треугольника и обозначить её как а. Тогда высота выводится по формуле: h = √3/2 a.

Как найти высоту прямоугольного треугольника?

Как известно, угол в прямоугольном треугольнике равен 90°. Высота, опущенная на один катет, одновременно является и вторым катетом. На них и будут лежать высоты треугольника с прямым углом. Для получения данных о высоте, нужно немного преобразовать имеющуюся формулу Пифагора, обозначив катеты – а и b, а также измерив длину гипотенузы – с.

Найдем длину катета (сторона, которой будет перпендикулярна высота): a = √ (c2 − b2). Длина второго катета находится по точно такой же формуле: b =√ (c2 − b2). После чего можно приступать к вычислению высоты треугольника с прямым углом, предварительно сосчитав площадь фигуры – s. Значение высоты h = 2s/a.

Расчеты с разносторонним треугольником

Когда разносторонний треугольник имеет острые углы, то высота, опускаемая на основание, видна. Если же треугольник с тупым углом, то высота может находиться вне фигуры, и нужно мысленно её продолжить, чтобы получить точку соединения высоты и основания треугольника. Самым простым способом измерить высоту является вычисление её через одну из сторон и величины углов. Формула выглядит следующим образом: h = b sin y + c sin ß.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Высота треугольника это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение (сторона, на которую опускается перпендикуляр, в данном случае называется основанием треугольника).

В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника. Третья внутри треугольника.

В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике катеты служат высотами.

Как найти высоту по основанию и площади

Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh .

• А — площадь треугольника
• b — сторона треугольника, на которую опущена высота.
• h — высота треугольника

Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.

Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.

Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае «‘А = 20″‘, ‘»b = 4′».

Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.

В нашем примере: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника.
Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.

Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника!

Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.

Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.

Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

b = √48 = 6,93

Как найти высоту с помощью углов и сторон

Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь — буквой «S».

Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.

Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).

Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.

Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.

Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).

Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.

Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.

Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.