ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Переменные токи

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени.

Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают строчной (малой) буквой i . Для одного из двух возможных направлений тока через поперечное сечение проводника мгновенное значение тока i считают положительным, а для противоположного направления - отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называют положительным направлением тока. Ток определен, если известна его зависимость от времени i =F (t ) и указано положительное направление тока.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т . Для периодического тока

i =F (t )=F (t +Т ).

Величина, обратная периоду, называется частотой f =1/Т . Частота измеряется в герцах. Частота равна 1 Гц, если период равен 1 с, т. е. 1 Гц=1 с -1 .

Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т. е. частота равна нулю.

СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

где I m - максимальное значение или амплитуда тока. Аргумент синуса называется фазой. Угол равен фазе в начальный момент времени (t =0) и поэтому называется начальной фазой . Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2 весь цикл изменения тока повторяется. Поэтому, когда говорят о фазе для какого-либо момента времени, обычно отбрасывают целое число 2 так, чтобы значение фазы находилось в пределах ± или в пределах от 0 до 2. В течение периода Т фаза увеличивается на 2. Величина 2/Т показывает скорость изменения фазы и обозначается буквой . Принимая во внимание, что f =1/T , можно написать

=2/Т =2f . (6.2)

Это выражение, связывающее  и f , послужило основанием называть  угловой частотой . Измеряется  числом радианов, на которое увеличивается фаза в секунду. Так, например, при f =50 Гц имеем 314 рад/с. Введя в (6.1) обозначение со для угловой частоты, получим

i =I m sin(t +).

На рис. 6.3 построен график синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

i 1 =I m 1 sin(t + 1).

i 2 =I m 2 sin(t + 2).

По оси абсцисс отложены время t и пропорциональная времени величина t .

Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее от отрицательных к положительным значениям), до момента начала отсчета времени t =0 (начало координат). При  1 >0 начало синусоиды тока i 1 сдвинуто влево, а при  2 <0 для тока i 2 - вправо от начала координат.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе . Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая, очевидно, равна разности начальных фаз. На рис. 6.3, например,  1 ‑ 2 >0, т.е. ток i 1 опережает по фазе ток i 2 на угол  1 ‑ 2 , или, что то же самое, ток i 2 - отстает по фазе от тока i 1 на угол  1 ‑ 2 .

Если у синусоидальных функций одной и той же частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе , если разность их фаз равна ±, то говорят, что они противоположны по фазе , и, наконец, если разность их фаз равна ±/2, то говорят, что они находятся в квадратуре .

ДЕЙСТВУЮЩИЕ ТОК, ЭДС И НАПРЯЖЕНИЕ

Для суждения о периодическом токе вводится понятие о среднем квадратичном значении тока за период, которое называется действующим значением тока , или, короче, действующим током :

За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением r выделяется тепловая энергия:

Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, как и при переменном.

Установим связь между действующим значением и амплитудой I m синусоидального тока:

Следовательно,

Среднеквадратичные значения любых других периодических величин за период тоже называются действующими. Так, например, действующие ЭДС и напряжение

В частности, для синусоидальных ЭДС и напряжения

Если речь идет о периодических напряжениях и токах, обычно подразумевают действующие напряжения и токи и ради краткости просто говорят: напряжение столько-то вольт, ток столько-то ампер.

ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ ВЕКТОРАМИ И КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.

Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:

v =V m sin(t +).

Возьмем прямоугольную систему осей МОN (рис. 6.4). Расположим под углом  относительно горизонтальной оси ОМ вектор V m , длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде V m (положительные углы  откладываются против, а отрицательные - по часовой стрелке). Представим себе, что вектор V m с момента t =0 начинает вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте . В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол t +. Его проекция на ось N N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v .

Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N N можно получить и другим путем, оставляя вектор V m неподвижным и вращая, начиная с момента t =0, ось N N по часовой стрелке с угловой скоростью . В этом случае вращающуюся ось N N называют линией времени .

Таким образом, между мгновенным значением v и вектором V m можно установить однозначную связь. На этом основании вектор V m называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени , или, кратко, вектором величины v . Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой .

Если считать оси ММ " и NN  осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор V m соответствует комплексному числу, модуль которого равен V m и аргумент - углу . Это комплексное число V m называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.

Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

Если вектор V m , начиная с момента времени t =0, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:

Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v .

Таким образом, величина v и ее изображение - комплексная амплитуда - однозначно связаны следующим равенством:

где символ Im обозначает, мнимую часть комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин , методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета .

Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером Ч. П. Штейнметцем.

Пример. Написать комплексную амплитуду тока i =10sin(t ‑/6) А.

Решение. Комплексная амплитуда I m =10-/6 А.

Заданный ток равен мнимой части комплексной функции времени

I m e j  t =I m e j ( t -  /6) =10(t -/6) А.

Пример. Комплексная амплитуда напряжения U m =‑100+j 100 В, частота f =1 кГц. Написать выражение для мгновенного напряжения.

Решение. Угловая частота =2f =210 3 =6280 рад/с, амплитуда ; так как действительная часть комплексной амплитуды отрицательная, а мнимая часть положительная, то вектор U m находится во второй четверти и, следовательно, =З/4.

Таким образом, мгновенное значение напряжения

СЛОЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени v 1 =V 1 т sin(t + 1) и v 2 =V 2 т sin(t + 2).

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы V 1 т =V 1 т  1 и V 2 т =V 2 т  2 и графически определим вектор V т =V т , равный геометрической сумме векторов V 1 т и V 2 т (рис. 6.5). Эта векторная диаграмма построена для случая, когда  1 >0 и  2 <0.

Представим себе, что векторы V 1 т , V 2 т и V т с момента t =0 начинают вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Проекция вращающегося вектора V т (t +) на вертикальную ось N "N в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов V 1 т (t + 1) и V 2 т (t + 2), т. е. мгновенных величин v 1 и v 2 . Следовательно, проекция вектора V т (t +) на вертикальную ось равна искомой сумме v 1 +v 2 , а вектор V т =V т  изображает искомую синусоидальную функцию времени v =v 1 +v 2 .

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора V т и угол , можем написать выражение искомой величины v =V т sin(t +).

Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 6.5) можно написать

V 1 т +V 2 т =V т .

Чтобы суммировать комплексные числа, представим их в алгебраической форме:

V 1 т =V " 1 т +j V "" 1 т ; V 2 т =V " 2 т +j V "" 2 т .

Выполнив суммирование, получим.

V " 1 т +j V "" 1 т +V " 2 т +j V "" 2 т =V " т +j V "" т =V т ,

V " т =V " 1 т +V " 2 т ; V "" т =V "" 1 т +V "" 2 т .

Отсюда находим

Так как tg=tg(±), то для определения  нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор V т . Это легко устанавливается по знакам действительной и мнимой частей V т . В расчетах начальную фазу  выражают или в радианах, или в градусах.

Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.

Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам.

Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения, в раз меньшие, так называемыекомплексные действующие величины :

Пример. Даны токи i 1 =6sin(t +120°) А и i 2 =1,5sin(t +30°) А.

Определить ток i 3 , равный разности токов i 1 -i 2 .

Решение . I 1 m =6120°=‑3+j 5,2 А; I 2 m =1,530°=1,3+j 0,75 А; I 3 m =I 1 m ‑I 2 m =‑4.3+j 4.45=6.19134° А.

Следовательно, i 3 =6,19sin(t +134°) А.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ СХЕМА

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В различных устройствах электромагнитная энергия преобразуется и в другие виды энергии (в механическую, химическую и т. д.); часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какой-либо участок, с которым не были бы связаны эти явления.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения, или, короче, просто схемой (математической моделью), составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений.

К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся резистивный элемент с сопротивлением г, или, короче, сопротивление r , индуктивный элемент с индуктивностью L , или, короче, индуктивность L , и емкостный элемент с емкостью С , или, короче, емкость С . Их условные обозначения на схемах показаны на рис. 6.6, а - в.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между индуктивными элементами (рис. 6.6, г). Т. о., взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

Здесь рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности, емкости и взаимные индуктивности которых не зависят от токов и напряжений.

В резистивном элементе с сопротивлением г электромагнитная энергия преобразуется в тепло при мощности преобразования ri 2 . Резистивные элементы вводят в схему также и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии. Напряжение между выводами резистивного элемента и ток в элементе (рис. 6.6, а) связаны законом Ома:

u r =ri . (6.8)

Индуктивный элемент схемы с индуктивностью L (рис. 6.6, б) учитывает энергию Li 2 /2 магнитного поля и явление самоиндукции. При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции e L . По закону Ленца она препятствует изменению тока:

u L =‑ e L =Ldi /dt , (6.9)

Емкостный элемент схемы с емкостью С (рис. 6.6, в) учитывает энергию С u C 2 /2 электрического поля. Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах:

i =dq /dt =Cdu C /dt , (6.10а)

Схема зависит от частоты переменного тока. Так, при достаточно низкой частоте резистор может быть представлен сопротивлением, индуктивная катушка - последовательным соединением индуктивности и сопротивления, а конденсатор при хорошей изоляции между электродами - емкостью. С ростом частоты, как будет показано в следующих параграфах, увеличиваются ЭДС, обусловленные индуктивностями, и токи, обусловленные емкостями. Поэтому при высоких частотах приходится учитывать индуктивность проволочных резисторов и межвитковую емкость катушек. Кроме того, с увеличением частоты растут потери в изоляции конденсаторов. Для учета всех этих явлений приходится резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы заменять более сложными схемами. При высоких частотах приходится также учитывать емкости между проводами, соединяющими различные элементы реальной электрической цепи, и вводить их в схему.

Если схема получается с ограниченным (конечным) числом элементов, то говорят, что реальная цепь рассматривается как цепь с сосредоточенными параметрами. Если же приходится пользоваться схемой, содержащей неограниченно большое (бесконечное) число элементов, говорят, что цепь рассматривается как цепь с распределенными параметрами.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам цепей переменного тока законов Кирхгофа. На проводах и в узлах схемы не могут накапливаться заряды (единственными накопителями зарядов являются емкостные элементы). Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:

Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками А и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 6.7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения. Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути АтВ , от второго вольтметра - по пути АпВ .

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура АпВтА равно ЭДС, индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:

u AnBmA =e =‑d /dt .

Заметим, что знак минус перед d /dt ставится в том случае, если положительное направление магнитного потока и положительное направление ЭДС (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано от читателя за плоскость чертежа. Напряжение

u AnBmA =u An +u BmA =u AnB ‑u AmB .

Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим

u AnB ‑u AmB =e =‑d /dt .

Следовательно, напряжения между двумя точками, определенные вдоль двух различных путей, отличаются друг от друга на ЭДС, индуктированную в замкнутом контуре, образованном этими двумя путями. При согласовании положительного направления ЭДС (направления обхода контура) и положительного направления магнитного потока по правилу левого винта перед производной d /dt следует поставить не знак минус, а знак плюс.

Напряжения, определяемые вдоль различных путей, будут одинаковы только в том случае, если замкнутые контуры, образованные этими путями, не пронизываются переменным магнитным потоком.

В схеме замещения напряжения между различными ее точками от пути не зависят. Так, напряжения на выводах элементов схемы r , L и С связаны с током приведенными выше соотношениями (6.8) -(6.10) вне зависимости от путей (взятых вне элементов), по которым эти напряжения определяются. Поэтому точки схемы переменного тока можно, так же как и точки цепи постоянного тока, характеризовать потенциалами, а напряжения рассматривать как разности потенциалов. Имея это в виду, говорят, что схемы или идеализированные цепи потенциальны. Изменение потенциала по любому замкнутому контуру такой цепи равно нулю. Поэтому справедлива следующая формулировка второго закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:

или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура .

Выберем произвольный узел т из общего числа У . Ток в k -й ветви, соединяющей узел т с другими узлами, обозначим i k . По первому закону Кирхгофа (6.11а) для каждого т -го узла

Составим такие же равенства для всех У узлов и найдем их сумму:

В это тождество ток ветви i k входит 2 раза и с разными знаками (ток ветви направлен от одного из узлов к другому). Поэтому тождество, которое называется теоремой Телледжена, можно записать и так:

где u n - напряжение или разность потенциалов между узлами той из В ветвей, ток в которой i n .

Произведение u n i n =p n - это мгновенная мощность n -й ветви, и из тождества (6.12) следует баланс мощностей: суммарная мгновенная мощность всех ветвей равна нулю (закон сохранения энергии).

Так как теорема Телледжена получена из законов Кирхгофа, то она справедлива для каждого момента любого режима (установившегося и неустановившегося) и любых цепей [линейных, параметрических, нелинейных].

Здесь рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными ЭДС. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты ЭДС всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем.

Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех коммутаций (переключений) в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальные и изменяются с той же частотой, что и ЭДС источников энергии.

Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.

После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и ЭДС:

алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных напряжении на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю, или, иначе, алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

ТОК И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r , L и С , т. е. в последовательном контуре или rLC -цепи, известен ток

i =I m sin(t + i ).

3. Цепи синусоидального тока

Для изучения данной темы следует использовать материал темы 3. Эти вопросы также разобраны в , , .

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

характеристики синусоидального тока, напряжения;

графическое изображение синусоидальных токов и напряжений (векторные диаграммы);

применение векторных диаграмм к расчету цепей синусоидального тока;

законы Кирхгофа в векторной форме записи;

действующие значения синусоидальных токов и напряжений;

элементы R ,L иC в цепи синусоидального тока;

цепь с последовательным соединением элементов R ,L иC ;

цепь с параллельным соединением элементов R ,L иC ;

мощность цепи синусоидального тока;

понятие о двухполюсниках и об эквивалентных цепях. Выполнить на компьютере лабораторную работу 1.

3.1. Основные понятия о синусоидальных процессах

Синусоидальный ток – это периодический ток, изменяющийся во времени по закону синуса. График этого тока представлен на рис. 3.1 в виде кривой, полученной на экране осциллографа.

экран осциллографа

ось времени

На этом рисунке ось времени t (ось абсцисс) проведена между наибольшим и наименьшим значением тока. Ось тока (ось ординат) проведена перпендикулярно оси времени. Пересечение ее с осью начала отсчета времениt можно выбирать произвольно. Значение токаi в любой момент времениt называетсямгновенным значением. Все значенияi выше осиt считаются положительными, а ниже оси – отрицательными. Максимальное значение тока (относительно осиt ) называетсяамплитудой и обозначаетсяI m . Синусоидальный ток изменяется во времени от+I m до –I m .

Наименьшее время Т , по истечении которого значения тока повторяются, называетсяпериодом тока . На осциллограмме период наиболее удобно изме-

рять между двумя амплитудами. Число периодов, совершаемых током за одну секунду, называется частотой тока f . Частота тока и период тока – величины взаимообратные. Частотаf имеет физическую размеренность 1/c и названа "герц" (Гц):

Все сказанное выше о синусоидальном токе справедливо и по отношению к синусоидальному напряжению и синусоидальной ЭДС.

3.2. Аналитическая запись синусоидальных токов и напряжений

Синусоидальные токи и напряжения выражаются аналитически следующим образом:

i I m sin ti ; u Um sin tu . (3.3)

В этих формулах:

i и u мгновенные значения тока и напряжения; Im и Um – амплитудытока и напряжения; угловая частотатока и напряжения; t– время; (t+ i ) и (t+ u ) – фазы тока и напряжения, измеряемые в градусах (град) или радианах (рад); i и u начальные фазытока и напряжения это фазы (t+ i ) и (t+ u ) при t= 0. Их численные значения зависят от выбора момента начала отсчета времени.

Для полного определения синусоидального тока или напряжения необходимо знать три величины: амплитуду, частоту и начальную фазу , Если известно приложенное к цепи синусоидальное напряжение, то это значит, что заданыU m , иu . Следовательно, для определения синусоидального тока этой цепи надо определить только две величины:I m иi , так как частота тока такая же, как и у приложенного напряжения.

3.3. Способы графического изображения синусоидальных токов

и напряжений

Существует два способа графического изображения синусоидальных токов и напряжений: с помощью графиков i (t ) иu (t ) в декартовых координатах (подобно рис. 3.1) и с помощью вращающихся векторов в полярных координатах.

На рис. 3.2,а показано изображение тока в виде вектора длиной I m , вращающегося (как принято в теории цепей)против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью (соответствующей угловой частоте тока) относительно полюса 0 полярной системы координат. Его положение на этом рисунке зафиксировано в момент времениt = 0, при котором угол его наклона к полярной оси Р составляет величину, равную начальной фазе +i (положительные

начальные фазы откладывают от полярной оси против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой).

При вращении вектора I m против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью проекция этого вектора на ось, перпендикулярную полярной оси (рис. 3.2,б), совершает синусоидальные колебания во времени. В самом деле, пусть за времяt , прошедшее от начала отсчета векторI m при своем вращении против часовой стрелки повернулся на угол =t (рис. 3.2,б). Тогда проекция этого вектора на ось, перпендикулярную полярной оси, составитi =I m sin (t + i ), что является мгновенным значением тока.

Пример 3.1. Известны синусоидальные ток и напряжения некоторой цепи

(рис. 3.3): i = 2sin (314t +60) A;u = 30sin (314t – 30) B. Требуется изобра-

зить графически ток и напряжение в полярных и декартовых координатах.

i 60

u i90

Решение . Вначале изображаем токi и напряжениеu цепи в полярных координатах (рис. 3.3,а) в виде вращающихся векторов, зафиксированных на плоскости приt = 0. Для этого выбираем произвольно направление полярной оси Р и располагаем вектор тока длинойI m =2А под угломi = +60 к ней, а вектор напряжения длинойU m =30 В располагаем под угломu = 30 к полярной оси.

Для изображения тока и напряжения в декартовых координатах

(рис. 3.3,б) устанавливаем ось абсцисс (ось t ) так, чтобы она располагалась на одной прямой с полярной осью (Р). Затем вращаем векторыI m иU m против часовой стрелки с угловой скоростью и фиксируем проекции этих векторов на декартовой плоскости через каждые 30 их поворота. В результате получаем графики изменения синусоидального тока и напряжения во времени, как это показано на рис. 3.3,б.

Заметим , что величины начальных фаз тока и напряжения определяются отрезками на оси абсцисс между началом координат и ближайшими точками ее пересечения синусоидами при переходе значений от отрицательных к положительным. При этом положительные начальные фазы (в нашем примере

i = +60) располагаются левее точки 0, а отрицательные (в нашем примереu = 30) – правее точки 0.

3.4. Векторные диаграммы и их применение к расчету цепей синусоидального тока

Графики токов i (t ) и напряженийu (t ) в декартовых координатах иногда используются для иллюстрации электромагнитных процессов в электрических цепях, но для практических расчетов не пригодны.

При решении электротехнических задач широко используется изображение токов и напряжений в виде вращающихся против часовой стрелки векторов, положение которых на плоскости зафиксировано для момента времени

t = 0.

Пример 3.2. Известны (рис. 3.4,а) синусоидальные токи двух параллельно включенных двухполюсников 1 и 2:i 1 =3 sin (628t + 30) A;i 2

I m 2

Решение. Для узлаа цепи справедлив первый закон Кирхгофа:i –i 1 –i 2 = 0 илиi =i 1 +i 2 . Следовательно, для нахождения тока в неразветвленной части цепи необходимо сложить синусоидыi 1 иi 2 . Это легко сделать если воспользоваться изображением токов в виде векторов по образцу рис. 3.2,а. Для определения общего тока надо определить только две характеризующие его величины – амплитудуI m и начальную фазуi , поскольку частота тока = 628 1/с задана. Эти величины можно легко найти графически, сложив векторыI m 1 иI m 2 так, как это делают в механике при нахождении вектора результирующих сил:

Векторы исходных токов и результат их сложения показан на рис. 3.4,б. Здесь длина суммарного вектора равна амплитуде общего тока I m , а угол наклона к полярной оси (Р), есть начальная фазаi общего тока.

Путем непосредственных измерений находим, что I m = 5A иi = – 23 (знак ”– ” взят потому, что он расположен по часовой стрелке от полярной оси Р). Таким образом, искомый токi = 5sin (628t – 23) А.

Совокупность векторов токов и напряжений цепи, называется векторной диаграммой этой цепи. Она позволяет заменить алгебраическое сложение

все время изменяет свое направление в отличие от постоянного, который протекает только в одном направлении. Постоянный ток вырабатывают батареи и источники постоянного тока, а переменный – генераторы сигналов и государственные энергетические системы.

Синусоидальные колебания

Форма переменного тока или напряжения может принимать самые различные виды. Наиболее распространенной является синусоидальная форма переменного напряжения или тока (рис. 2.1). Синусоидальное колебание имеет два максимальных значения, или пика: положительный пик и отрицательный. Пиковое значение называется также амплитуде синусоиды. Значение синусоидального напряжения, измеренное от пика до пика (размах), является разностью потенциалов между положительным пиком и отрицательным.
Размах = Положительная амплитуда + Отрицательная амплитуда = Удвоенная амплитуда.

Рис. 2.1.

Среднеквадратическое значение

Постоянный ток имеет постоянное значение, и это значение можно использовать во всех вычислениях. Значение же переменного тока изменяется во времени. Чтобы преодолеть эту трудность, за «постоянное» значение переменного тока приняли и используют его среднеквадратическое значение.
Среднеквадратическое значение переменного тока является эквивалентом значения постоянного тока, при котором вырабатывается такая же мощность, что и при исходном значении переменного тока. Если известно среднеквадратическое значение переменного тока, то его можно использовать для вычисления мощности так же, как если бы это было постоянное напряжение или ток. Например:

Мощность пост. тока = Постоянный ток х Постоянное напряжение;
Мощность перем. Тока = Среднеквадр. значение тока х Среднеквадр. значение напряжения.

Значения переменного тока и напряжения всегда задают в виде среднеквадратической величины, за исключением специально оговоренных случаев.
Пример 1
Какое сопротивление имеет домашний электрический обогреватель мощностью 1 кВт?
Решение
Домашние обогреватели работают от сетевого напряжения, имеющего среднеквадратическое значение 240 В (в России 220 В. - Прим. перев.). Мощность, потребляемая обогревателем, составляет 1 кВт = 1000 Вт. Из формулы P = V2/R определяем

P = V2/R = 240*240/1000 = 57, б Ом.

Соотношение между пиковыми и среднеквадратическими значениями

Среднеквадратическое значение сигнала переменного тока зависит от его формы. Так, среднеквадратическое значение синусоидального сигнала составляет 0,707 его пикового значения (амплитуды). Заметим, что это справедливо только для синусоидального сигнала. Например, если амплитуда синусоидального сигнала Vр = 10 В, то его среднеквадратическое значение составит Vср.кв. = 0,707 * Vр = 0,707 * 10 = 7,07 В (см. рис. 2.2). Из соотношения Vср.кв. = 0,707 * Vр следует, что

Vр = 1/0,707 * Vср.кв. = 1,414 * Vср.кв.

Рис. 2.2. Среднеквадратическое значение синусоидального сигнала.

Рис. 2.3.

Постоянная составляющая в сигнале переменного тока

До сих пор мы имели дело с сигналами переменного тока, которые не содержали постоянной составляющей. Рассмотрим два синусоидальных сигнала, изображенных на рис. 2.3. Левый сигнал не имеет постоянной составляющей, и его положительный пик равен отрицательному. Правый же сигнал содержит составляющую постоянного тока величиной 5 В.
Постоянная составляющая переменного тока называется также средним, или усредненным значением сигнала переменного тока.
Определим постоянную составляющую сигнала, имеющего прямоугольную форму (рис. 2.4).

Рис. 2.4.

1. Сначала определим положение нулевого уровня.
2. Вычислим площадь А1, лежащую выше нулевого уровня:
А1 = 4*1 = 4.

3. Вычислим площадь А2, лежащую ниже нулевого уровня:
А2 = 2*1 = 2.

4. Вычислим суммарную площадь:
А1 – А2 = 4 – 2 = 2.

5. Отсюда среднее значение напряжения за период равно
Суммарная площадь/Время периода = 2/3 = 0,67 В.

Среднеквадратическое значение сложных сигналов

Как уже говорилось, соотношение
Среднеквадратическое значение = 0,707 амплитуды
справедливо только для синусоидальных сигналов. Среднеквадратическое значение сигналов, имеющих другую форму, может быть определено следующим образом.
1. Определить площадь сигнала за один период. Заметим, что при определении площади отрицательное значение превращается в положительное.
2. Определить среднее значение площади сигнала за период.
3. Вычислить квадратный корень из средней площади сигнала за период.
Определим среднеквадратическое значение сигнала, имеющего форму меандра (рис. 2.5(а)). Площадь положительного полупериода этого сигнала равна 3 * 3 = 9. Площадь отрицательного полупериода составля¬ет (-3) * (-3) = 9. Среднее значение площади за период, следовательно, равно 9. Отсюда среднеквадратическое значение напряжения будет корень из 9 = 3 В.

Рис. 2.5. Сравнение среднеквадратических значений
прямоугольного и синусоидального сигналов.

Для сравнения определим среднеквадратическое значение синусоидального напряжения, имеющего значение положительной и отрицательной амплитуды +3 В и –3 В соответственно (рис. 2.5(б)): 0,707 * 3 В = 2,12 В.

Как видим, прямоугольный сигнал имеет большее среднеквадратическое значение. Это объясняется тем, что площадь под прямоугольной огибающей больше, чем площадь под синусоидой, хотя оба сигнала имеют одинаковые значения положительного и отрицательного пиков. В данном случае среднеквадратическое значение прямоугольного сигнала равно его пиковому значению.

На рис. 2.6 изображен прямоугольный сигнал, имеющий только положительные значения. Среднеквадратическое значение этого сигнала меньше его пикового значения.
При однополупериодном выпрямлении среднеквадратическое значение напряжения равно половине его амплитуды.
При двухполупериодном выпрямлении среднеквадратическое значение такое же, как у полной синусоиды, т. е. 0,707 амплитуды (рис. 2.7), поскольку при вычислении среднеквадратического значения положительная полуволна сигнала идентична отрицательной, положительный полупериод идентичен отрицательному.
Заметим, что постоянная составляющая, или среднее значение сигнала, это просто усредненное значение напряжения за один период, не имеющее никакого отношения к среднеквадратическому значению.

Рис. 2.6. Среднеквадратическое значение прямоугольного сигнала, имеющего только положительную полярность.

Рис. 2.7. (а) При однополупериодном выпрямлении синусоидального напряжения его среднеквадратическое значение равно 0,5 амплитуды.
(б) При двухполупериодном выпрямлении синусоидального напряжения его среднеквадратическое значение равно 0,707 амплитуды.

В этом видео наглядно рассказывается о типах тока, в том числе о переменном токе:

Cтраница 1

Напряжение синусоидальной формы формируется из треугольного напряжения с помощью функционального преобразователя. Идея преобразования заключается в следующем. Для выделения напряжения первой гармоники существенно ослабляют высшие гармоники, пропуская сигнал треугольной формы через операционный усилитель, охваченный нелинейной диодно-резистив-ной цепью отрицательной обратной связи. Степень чистоты синусоидального сигнала зависит от числа каскадов, используемых в схеме преобразователя, а также от точности формирования исходного сигнала треугольной формы.  

Генерируемое усилителем напряжение синусоидальной формы и определенной частоты fx подается через катодный повторитель на смесительный каскад.  

При применении напряжения синусоидальной формы при прочих равных условиях можно также расширить пределы измеряемых размеров частиц, значительно сдвинув верхний предел.  

Электромашинные преобразователи вырабатывают напряжение синусоидальной формы, в то время как полупроводниковые и вибропреобразователи - напряжение прямоугольной формы. Недостатком электромашинных преобразователей является большой вес и габариты, а недостатком вибропреобразователей - небольшая мощность, малый срок службы и невысокая надежность. Поэтому наиболее широкое применение находят полупроводниковые преобразователи, имеющие малые габариты и вес, высокий кпд и большую эксплуатационную надежность.  

С приемного преобразователя напряжение синусоидальной формы, зависящее от вязкости среды, поступает на электронный подстраиваемый фазовращатель. После предварительного усиления оно преобразуется двухкаскадным усилителем в прямоугольные импульсы постоянной амплитуды, которые подаются на согласующий каскад. Первая гармоника, выделенная фильтром из этого сигнала, поступает на выходной трансформатор, напряжение вторичной обмотки которого питает возбуждающий преобразователь датчика.  

Генератор должен давать напряжение строго синусоидальной формы на частотах 0 5 - 10 кГц с амплитудой выходного напряжения от нескольких милливольт до нескольких вольт. Индикатор состоит обычно из усилителя с большим регулируемым коэффициентом усиления и осциллографа. На горизонтальные отклоняющие пластины осциллографа подают сигнал с моста, а на вертикальные - сигнал с усилителя. При отсутствии баланса на экране осциллографа появляется так называемая фигура Лиссажу - эллипс. При равновесии эллипс стягивается в горизонтальную прямую линию. Обычно индикатор и генератор изолируют от моста при помощи трансформаторов (на схеме не показаны), так как иначе заземление Вагнера не будет действовать удовлетвор ител ьно.  

Вначале на конденсатор подают напряжение синусоидальной формы, частота которого соответствует рабочей частоте используемой измерительной установки, например моста для измерения емкости и тангенса угла потерь. При таком базовом режиме нагрузки производят измерение тангенса угла потерь конденсатора, его установившийся перегрев Д н корпуса или внутренней части в тех же точках.  

Такие генераторы тона создают напряжения синусоидальной формы и используются главным образом в многоголосных инструментах - электроорганах.  

Пик-трансформаторы предназначены для преобразования напряжения синусоидальной формы в импульсы напряжения пико-образной формы. Принцип работы пик-трансформатора основан на явлении магнитного насыщения ферромагнитного материала.